यदि सदिश $i+3j-2k$,$2i-j+4k$ और $3i+2j+xk$ समतलीय हैं,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएँ सदिशों $\overrightarrow{OA} = (2, 1, 1)$,$\overrightarrow{OB} = (3, -1, 1)$ और $\overrightarrow{OC} = (-1, 1, -1)$ द्वारा निरूपित हैं। यह . . . . . . घन इकाई है।

किन्हीं तीन शून्येतर सदिशों $\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}$ और $\vec{r}_{3}$ के लिए,सारणिक $\left| \begin{matrix} \vec{r}_{1} \cdot \vec{r}_{1} & \vec{r}_{1} \cdot \vec{r}_{2} & \vec{r}_{1} \cdot \vec{r}_{3} \\ \vec{r}_{2} \cdot \vec{r}_{1} & \vec{r}_{2} \cdot \vec{r}_{2} & \vec{r}_{2} \cdot \vec{r}_{3} \\ \vec{r}_{3} \cdot \vec{r}_{1} & \vec{r}_{3} \cdot \vec{r}_{2} & \vec{r}_{3} \cdot \vec{r}_{3} \end{matrix} \right| = 0$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा असत्य है?

यदि $a, b, c$ कोई भी तीन असमतलीय सदिश हैं,तो $[a + b, b + c, c + a] = $

यदि सदिश $\vec{a} = \hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j} + a\hat{k}$,और $\vec{c} = a\hat{i} + \hat{k}$ दिए गए हैं,तो $a$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए इन तीन सदिशों द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम हो।

यदि $a$,$b$ और $c$ पर लंब है,$|a| = 2$,$|b| = 3$,$|c| = 4$ और $b$ तथा $c$ के बीच का कोण $\frac{2\pi}{3}$ है,तो $[a \; b \; c]$ का मान ($\sqrt{3}$ में) क्या होगा?